Der Würzburger war von 1988 bis 2022 als lyrischer Tenor an der Deutschen Oper Berlin engagiert. Zu seinen bisherigen Partien am Haus zählen u. a. Tamino / ZAUBERFLÖTE, Ferrando / COSI FAN TUTTE, Don Ottavio / DON GIOVANNI, Graf Almaviva / BARBIER, Fenton / FALSTAFF und DIE LUSTIGEN WEIBER VON WINDSOR, Evangelist / MATTHÄUSPASSION, Schulmeister, Dackel / DAS SCHLAUE FÜCHSLEIN, Max / FREISCHÜTZ, Walther von der Vogelweide / TANNHÄUSER, Baroncelli / RIENZI, Graf Elemer / ARABELLA, Steuermann / DER FLIEGENDE HOLLÄNDER, David / DIE MEISTERSINGER VON NÜRNBERG, Narraboth / SALOME, Loge / RHEINGOLD und Parsifal.

Auch in zeitgenössischen Opern erarbeitete er sich mit dem Regisseur Götz Friedrich weitere Hauptrollen, so den Noboru in der Berliner Uraufführung von Hans Werner Henzes DAS VERRATENE MEER, den Laios in George Enescus OEDIPE, bis zu König Kaspar in Menottis AMAHL UND DIE NÄCHTLICHEN BESUCHER. Mit Günther Krämer als Regisseur gestaltete er den Janek in Janáceks DIE SACHE MAKROPULOS, den Chevalier in Poulencs DIALOGE DER KARMELITERINNEN oder den Jakob Schmidt in Weills AUFSTIEG UND FALL DER STADT MAHAGONNY.

In den Jahren 1987 bis 1995 und 2001 bis 2012 verband Clemens Bieber eine enge Zusammenarbeit mit den Bayreuther Festspielen. Er sang dort u.a. Partien wie den Steuermann in DER FLIEGENDE HOLLÄNDER, den jungen Seemann in TRISTAN UND ISOLDE, David in DIE MEISTERSINGER VON NÜRNBERG, Walther von der Vogelweide in TANNHÄUSER und Froh in DAS RHEINGOLD. Bei den Bayreuther Festspielen arbeitete er mit Regisseuren wie Wolfgang Wagner, Philippe Arlaud, Dieter Dorn, Tankred Dorst, Stefan Herheim, Christoph Marthaler und musizierte unter Dirigenten wie Giuseppe Sinopoli, Donald Runnicles, Peter Schneider, Christian Thielemann, Pierre Boulez und Daniele Gatti.

Ein Höhepunkt seiner umfangreichen internationalen Gastiertätigkeit war 1988 eine Einladung an die Metropolitan Opera New York, wo Clemens Bieber unter der musikalischen Leitung von James Levine als David in DIE MEISTERSINGER VON NÜRNBERG debütierte. Weitere Gastspiele führten ihn an die Semperoper Dresden, die Deutsche Oper am Rhein Düsseldorf, die Bayerische Staatsoper München, die Oper Zürich und an das New National Theatre Tokyo.

Auch als Konzertsänger ist Clemens Bieber erfolgreich tätig. Sein Repertoire umfasst die Hauptwerke von Bach, Händel, Beethoven, Haydn, Mozart, Mendelssohn und Verdi ebenso wie seltener zu hörende Kompositionen von Britten, Honegger, Franck Martin oder Hector Berlioz. Er sang zahlreiche Konzerte mit der Sing-Akademie und dem Bach-Chor Berlin in der Berliner Philharmonie und gastierte mit Bachs h-moll-Messe unter der Leitung von Rudolf Barschai im Tschaikowski-Saal des Konservatoriums in Moskau. Weitere Konzertreisen führten ihn zum Palau de la Música in Barcelona und zum Concertgebouw Amsterdam, wo Clemens Bieber 2012 Aufführungen von Mahlers „Das klagende Lied“ unter der Leitung von Markus Stenz sang.

2010 wurde Clemens Bieber durch den Berliner Senat zum Berliner Kammersänger ernannt.