Claudio Corbach begann achtjährig mit dem Cellospiel. Er studierte 1994 bis 2000 in Berlin an der Hanns-Eisler Musikhochschule und in Frankfurt/Main an der Hochschule für Musik und Darstellende Kunst bei Prof. Michael Sanderling.

Erste Orchestererfahrungen sammelte er während seines Studiums als Substitut und Praktikant im Rundfunk-Sinfonieorchester Berlin. Seit 2000 ist er Mitglied des Orchesters der Deutschen Oper Berlin. Von 2000 bis 2004 hatte er dort die Funktion als Stellvertretenden Solo-Cellisten inne.

Zunehmend widmete er sich auch mehr der Kammermusik. So wirkt Claudio Corbach im Orpheus-Ensemble Berlin und seit 2015 in der Kammersymphonie Berlin als Solocellist mit. In unterschiedlich formierten Kammermusikbesetzungen konzertierte er im In- und Ausland. Im Rahmen seiner Kammermusiktätigkeit entstanden verschiedene Rundfunk- und CD-Aufnahmen.

Claudio Corbach ist Preisträger des Internationalen Kammermusik-Wettbewerbs in Thessaloniki (GR) in der Kategorie „Streichinstrument – Klavier“.